¿Cuales son los principales modelos empleados?
A partir de Fibonacci, el alcance y la
sofisticación de los modelos matemáticos en dinámica de poblaciones o en
disciplinas cercanas como la epidemiología se han incrementado notablemente y
han alcanzado grados considerables de refinamiento.
La evolución conceptual de los modelos
a partir del de Fibonacci contiene una secuencia lógica que coincide con el
desarrollo histórico o cronológico de la modelación matemática en dinámica de
poblaciones.
El avance posterior a la modelación matemática
en dinámica de poblaciones no se ha dado a una velocidad constante; tuvieron de
transcurrir algunos siglos antes de que encontrásemos el famoso modelo de
Malthus. En 1798, en su libro Primer ensayo sobre la población, famoso
por ser uno de los primeros modelos en la historia que incorpora el lenguaje
matemático moderno y por servir de base teórica a políticas sociales y
económicas. Las hipótesis en las que se basa este modelo son completamente
irreales para poblaciones humanas.
El inglés Roberth Malthus enuncia: “…
Supóngase que se satisfacen los siguientes postulados: primero, que la
existencia del hombre depende de la cantidad de alimento de la que puede
disponer y, segundo, que la pasión entre los sexos es inevitable y ha de
permanecer como hasta hoy. Entonces, sostengo que el potencial de la población
es infinitamente mayor que el de la Tierra para abastecer a los seres humanos
de medios de subsistencia. De hecho cuando la población no se limita, aumenta
geométricamente mientras que los medios de subsistencia lo hacen sólo de manera
aritmética” (Malthus, 1798).
Por lo tanto, transcurrido un cierto
tiempo se producen hambrunas que pueden extinguir una población. Así las cosas,
la peste o la guerra pueden ser beneficiosas o inevitables para mitigar una
catástrofe que extinga la vida humana.
En términos aritméticos el modelo se expresa por:
donde
t= tiempo medido en años,
Nt= población en el año t,
N0= población inicial, en
el año t0=0,
r1= tasa anual de crecimiento de la
población,
St= producción de alimentos
en el año t,
S0= producción inicial de
alimentos, en el año t0=0,
r2= tasa anual de crecimiento de la
producción.
Una variante del modelo asume que la
población crece en proporción directa a la población,
Este modelo tiene un valor predictivo
en periodos cortos, pero pierde validez en el largo plazo. En efecto, las
restricciones de recursos naturales, los niveles educativos más elevados que
retrasan la edad reproductiva, los programas de control natal, tienen como efecto
que la tasa de crecimiento r no es constante y que la población no tiene
un ritmo de crecimiento exponencial.
Por otra parte, el modelo malthusiano
no considera el impacto de los cambios tecnológicos que permiten que la tasa de
crecimiento de la producción de alimentos crezca más que la población. Hoy, la
restricción alimentaria se debe más a problemas políticos, a malas decisiones
administrativas y a restricciones logísticas que a incapacidad de la tierra
para alimentar a la población actual.
Modelo Logístico
Una de las críticas más fuertes al
modelo de Malthus radica en suponer
que los recursos del medio son inagotables. El modelo exponencial de
crecimiento de la población no genera resultados útiles cuando la población es
cercana al valor máximo que puede alcanzar, según las restricciones sobre el
suministro de alimento. Con un sentido
más realista, puede decirse que efectivamente los recursos están limitados y que las
poblaciones de ninguna manera pueden crecer indefinidamente al ritmo
malthusiano.
En el modelo de crecimiento logístico
(o de Verhulst) explica que a mayor población, menor tasa de crecimiento. Dicho
modelo representa el crecimiento de una población cuando la
densidad de la
misma ejerce cierta presión sobre la tasa intrínseca de crecimiento, resultando así
una curva en forma de S.
El razonamiento de
Verhulst fue el
siguiente: en las etapas iniciales del crecimiento de una población, el número
de individuos se incrementa de forma exponencial. Sin embargo, en la curva
existe un punto de inflexión a
partir del cual la tasa de crecimiento disminuye. Posteriormente,
el número de
individuos no cambia en el tiempo. A diferencia del modelo de crecimiento
exponencial, donde la población siempre crece, este modelo se apega más a la
realidad para calcular la población de cada entidad federativa. Si bien cada
año ésta aumenta, lo hace a partir de tasas decrecientes. Sólo en algunos
estados la población crece a tasas crecientes.
La ecuación que describe la curva
presentada es la siguiente:
Donde:
K = es la “capacidad de carga” del
ambiente
C = es la constante adquirida en el
proceso de integración
Nt = es el número de
individuos de la población en el tiempo t
r = es el coeficiente que indica la
magnitud del potencial reproductivo de cada individuo
Modelo Presa-depredador de Lotka-Volterra
En el estudio de la dinámica de una
sola especie el énfasis se centra en la tasa de crecimiento natural y en la capacidad
del ambiente para sostener la población. En el caso de dos especies, la
interacción entre ellas afecta las tasas de crecimiento de las poblaciones
respectivas.
La formulación de los modelos
matemáticos para describir este tipo de interacciones tiene su origen en el
matemático vito Volterra y en el biólogo matemático norteamericano Alfred James
Lotka, quienes formularon por la misma época modelos similares, pero
independientes. Hoy en día se habla del modelo Lotka-Volterra en honor de
ellos.
Al terminar la Primera Guerra Mundial
el biólogo marino Humberto D'Ancona, que había estudiado las poblaciones de
varias especies de peces, le comento a su futuro suegro Volterra un hecho que
había observado al analizar el número de especies que se vendían en las plazas
de mercado de tres puertos. Los porcentajes de las especies predadoras habían
cambiado. Es decir, los porcentajes más altos de predadores habían ocurrido
durante y justamente después de terminada la guerra, cuando la pesca de ellos
se redujo de manera significativa.
En cuestión de meses, Volterra
desarrolló algunos modelos para interacciones entre dos especies. Su solución
considera dos especies: la presa X y el depredador Y. En ausencia del
depredador, la presa crece de acuerdo con el modelo malthusiano; por el
contrario, si no hay presa -único sustento del depredador-, éste se extingue.
Sea x(t) y y(t) las poblaciones de la presa y
el depredador en el tiempo t. Considérese primero la presa: Si no
existe depredador, la población de la presa evoluciona según la tasa de
crecimiento a de la especie,
a>0.
La presencia de depredadores hace
disminuir la tasa de crecimiento de la presa, en proporción directa al número
de encuentros y al factor de eficiencia de la caza (b).
Donde se supone que el número de
encuentros es proporcional al producto de los tamaños de las dos poblaciones.
Considérese ahora el depredador: si no
existe presa, el depredador se extingue por falta de alimento en proporción a
su población
Pero la existencia de la presa modifica su evolución así:
El modelo de Lotka-Volterra se rige por el par de
ecuaciones diferenciales no lineales
Con condición inicial (x(t0), y(t0))=(x0,y0). Los parámetros a,b,c,d >0 tienen
el siguiente significado:
a es la tasa natural de crecimiento de la presa en ausencia de depredadores
b
representa el
efecto de la depredación sobre la presa.
d
representa la
eficiencia y tasa de propagación del depredador en presencia de presas.
No hay comentarios:
Publicar un comentario